DE TODO UN POCO: Álgebra de las funciones

La composición de funciones

Artículo principal: Función compuesta

Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

$A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C$

$x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$

La función identidad

Artículo principal: Función identidad

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada

x

de $A \,$ el mismo

x

A

, se denomina función identidad. También se simboliza por

1 A

i d A

.
Dada cualquier función $f \colon A \to B$ , se cumple que $e_B\circ f \colon A \to B$ es igual a

f

y que $f\circ e_A \colon A \to B$ es también igual a $f\,$ , puesto que tenemos que para todo $x, \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$
$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$ Se verifica que

la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.
la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La restricción de una función

Sea

C

un subconjunto de

A

. La inclusión de

C

A

permite definir una función de

C

A

que asigna a cada elemento de

C

el mismo elemento, pero considerado como elemento de

A

. Decimos que tal función es la función definida por la inclusión.
Sea $f: A \rightarrow B$ y sea $C\,$ un subconjunto de $A\,$ . Sea

i

la función definida por la inclusión. La composición $f \circ i$ define una función de $C\,$ en $B\,$ que se llama la restricción de f a C y que se denota por $f\big|_{C}$ .
Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa

Artículo principal: Función recíproca

Dada una función $f \colon A \to B \,\;$ , se llama una (función) inversa de $f \;$ , a una función $g \colon B \to A \,$ tal que se cumple las siguientes condiciones:
$g \circ f = 1_A \qquad f \circ g = 1_B$ .Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por $f^{-1}\,$ .

Se verifica también las siguientes propiedades.

Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que $(f - 1) - 1 = f$ .
La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Sea A un conjunto no vacío y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que

La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que $(f_i \circ f_j) \circ f_k = f_i \circ (f_j \circ f_k) \,$
La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, $\forall f \in Biy(A)$ , tenemos que $f\circ 1_A = 1_A \circ f = f$ .
Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que $f^{-1} \circ f = f\circ f^{-1} = 1_A$ .

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas $A \to A$ , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de $A\,$ .
Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y convenios

La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.
Sea $f: A \rightarrow B$ una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de $\mathbb R$ ? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.
Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de ${\mathbb R}^2$ o ${\mathbb R}^3$ se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).
En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.

Función escalar: Función del tipo $\mathbb{R} \ \rightarrow \mathbb{R}.$
Campo escalar: Función del tipo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}.$
Función vectorial: Función del tipo $\mathbb{R} \ \rightarrow \mathbb{R}^n.$
Campo vectorial: Función del tipo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m.$

La notación funcional

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función

f (x)

". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida.
En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La expresión "la función $y = x^2 - 3\sqrt{x}$ " se debe entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.
Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación $x \mapsto x^2 - 3\sqrt{x} + 7$ para indicar la regla de asignación.
Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si $f:x \mapsto x+1$ y $g:x \sqrt{x}$ , podemos considerar a $h: x \mapsto \sqrt{x+1}$ como la composición de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una función de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb R}$ cuya imagen es todo ${\mathbb R}$ . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composiciónd de g con f, suponemos que f está restringido al intervalo $[-1,\infty)$ .

Funciones (con valores) reales

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones o transformaciones.
Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.

Álgebra de Funciones

Sea

X

un conjunto cualquiera no vacío y sea ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ el conjunto formado por todas las funciones de

X

en $\mathbb R$ . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ , como veremos a continuación.
Sean $f,g: X \rightarrow {\mathbb R}$ elementos de ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por

$f+g: x \mapsto f(x) + g(x)$ Suma de Funciones.
$f-g: x \mapsto f(x) - g(x)$ Resta de Funciones.
$fg: x \mapsto f(x)g(x)$ Producto de Funciones.

Extendemos relaciones punto a punto.

$f<g \iff \forall x, f(x) < g(x)$ .

La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ . Indicamos a continuación aquellas más importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante $x \mapsto 0$ , con opuesto aditivo $- f$ para cada función f.
La resta es tal que $f - g = f + ( - g)$ .
La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante $x \mapsto 1$ , pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ . En efecto, supongamos que

X = {a, b}

y definamos $f,g:X \rightarrow {\mathbb R}$ tales que $f(a)=1,\ f(b)=0$ y $g(a)=0,\ g(b)=1$ . Se ve, inmediatamente, que

f g

es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.
El conjunto ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea $X=\{1,2\}\,$ . Entonces, cada función de ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ define una pareja de números $f (1), f (2)$ que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado $(f (1), f (2))$ . Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con ${\mathbb R}^2$ .
Sea $X=\{1,2,3\}\,$ Razonado como arriba, podemos identificar a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ con ${\mathbb R}^3$ .
Sea $X=\{1,2,3, \ldots, n\}$ Razonado como arriba, podemos identificar a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ con ${\mathbb R}^n$ .

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

Sea $X = {\mathbb N}$ , los Naturales. En este caso, ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplicación usual de sucesiones.

Funciones numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen $[0,+\infty[\;\!$ , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Artículo principal: Función par

Artículo principal: Función impar

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si
$x>\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$
Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si
$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(-x) = -f(x))$ Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.
La importancia de los conceptos reside en que funciones cuyo dominio es simétrico respecto al origen, se cumple que son iguales a la suma de una función par con una función impar

Funciones monótonas

Artículo principal: Función monótona

La función f es estrictamente creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$
f es estrictamente decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

f es creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

Funciones periódicas

Artículo principal: función periódica

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el período.
En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: $f(x) = -f\left(x + \frac{T}{2}\right)\,$ . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Artículo principal: Función convexa

Artículo principal: Función cóncava

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones reales y funciones discretas

Artículo principal: Función real

Artículo principal: Función discreta

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

DE TODO UN POCO

martes, 23 de noviembre de 2010

Álgebra de las funciones